Изучение последовательностей и прогрессий

Изучение последовательностей и прогрессий начинается в 9 классе. Но тема «Последовательности» встретится нам еще в 10 классе при изучении математического анализа.

Прогрессии — частные случаи последовательностей, поэтому изучая их мы принимаем за основу вопросы, относящиеся к последовательностям. Как и всякие последовательности, прогрессии являются функциями, но несколько отличающиеся от того, к чему привыкли ученики. Это функции натурального аргумента.

Ученые всего мира договариваются о некоторых вещах, касающихся вопросов науки. Так, например, задумавшись над вопросом: зачем писать  , если будет легче писать , договорившись навсегда, что аргумент -натуральное число . Так и сделали: заменили запись на   .

И еще договорились заменить  на ,   на  ,  на  и т.д., соответственно на . Или, что тоже самое, заменить  на , на ,  на  и т.д., на . Таким образом, в качестве примера, для функции  получим:

;

;

;

;

и так далее.

Теперь то, что мы получили, для удобства можно записать в строку друг за другом 1, 4, 9, 16, 25, …,, …

Эта последовательность и будет примером числовой последовательности.

Итак, подводя краткий итог, мы для себя должны уяснить, что записи вида:

1) ;

2) ;

3) , , , …, , …  или , , , …, , где ;

4) , , , …, , …  или , , , …, , где 

различны по внешнему виду, но по смыслу означают одно и то же.

Числовые последовательности

Числовой последовательностью называется множество чисел, занумерованных с помощью натуральных чисел и расположенных в порядке возрастания их номеров,

т.е.  , , , …, , … или сокращенно . Числа, из которых составлена последовательность, называют ее членами.

Числовая последовательность задана, если всякому натуральному числу n поставлена в соответствие некоторое число . Задать числовую последовательность – это значит указать правило, с помощью которого по номеру члена можно найти этот член, т.е. задать функцию , где — f правило соответствия между и ,  ;. Общим членом последовательности называется ее  –  й член .

Или другими словами: последовательность считается заданной, если указан способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Числовая последовательность, у которой все члены равны между собой, называется постоянной последовательностью или просто постоянной. Например, в последовательности  все члены равны 4.  ().  Можно записать  .

Конечной числовой последовательностью называется последовательность, содержащая  членов, т.е. числовая функция , заданная на множестве .

Как и функцию, последовательность можно задать различными способами: аналитически (формулой), таблицей, графиком и т.д. Чаще всего последовательность задают с помощью формулы  – го члена или рекуррентно.

Рекуррентный способ задания последовательности заключается в том, что указывается соотношение, позволяющее найти  член последовательности, если известны ее предыдущие члены.

Примеры

• Способ задания последовательности с помощью формулы  члена.

Задана формула . Записать последовательность.

Решение.

…………….

Таким образом, наша последовательность будет иметь вид 

• Рекуррентный способ задания последовательности

а) Известно, что  и  ; ; , при . Записать последовательность.

Решение.

. Подставляя в формулу  вместо последовательно 4; 5; …., получаем:

    ;      ;    

    ;      ;    

     ;     ;  

Значит

б) Известно, что  и  , при . Записать последовательность.

Решение.

    ;      ;    

    ;      ;    

    ;      ;    

    ;      ;    

    ;      ;    

Значит

Эта последовательность называется последовательностью Фибоначчи, а ее члены — числами Фибоначчи.

Интересно, что с последовательностью Фибоначчи дети знакомятся еще в начальной школе (хотя там ее так не называют). Для малышей есть задание: «Найди закономерность и продолжи последовательность  1; 1; 2; 3; 5; 8; ………….».)

Примеры заданий с решениями

Пример 1. Последовательность задана формулой .

а) Выпишите эту последовательность.

б) Найдите ,  и .

Решение.

а)         =

=

=

=

=

=

=

То есть наша последовательность будет выглядеть так: 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; ….

б)   =

      = .

      = .

Пример 2. Подберите одну из возможных формул  члена последовательности ;  ;  ;  ;  .

Ответ: .

Пример 3. Закономерность, по которой выписаны члены последовательности, не всегда легко обнаружить. Например, пусть дана последовательность: . Найдите какое-нибудь правило, определяющее эту последовательность.

Ответ: формула для общего члена этой последовательности имеет, например, вид .

Теперь при изучении последовательностей и прогрессий вы с легкостью найдете нужный член последовательности и сможете задать последовательность формулой.

Как я уже отметила в начале этой статьи, прогрессии — это частные случаи последовательностей и в следующих статьях мы с вами рассмотрим арифметическую и геометрическую прогрессии. Также  рекомендую Вам познакомиться с методом математической индукции, который применяется для широкого круга задач.