Формула Эйлера. Теорема Птолемея

Формула Эйлера

Мы знаем, что в каждый треугольник можно вписать окружность и можно описать около него окружность. Ясно, что вписанная окружность лежит внутри описанной, поскольку вписанная окружность лежит внутри треугольника, а сам треугольник лежит внутри описанной окружности.

Радиусы вписанной  и описанной окружностей и расстояние между их центрами всегда связаны между собой определенным соотношением. Справедлива следующая теорема.

Теорема. В треугольнике радиус R описанной окружности и радиус r вписанной окружности связаны с расстоянием d между их центрами соотношением

    \[{\ d^2=R^2-2Rr\]

.

В частности, если d=0 (центры окружностей совпадают), то R=2r.

Эта формула называется формулой Эйлера.

Рисунок 1

Доказательство.

Рассмотрим треугольник АВС, у которого точка О – центр описанной окружности, а точка O_1 – центр вписанной окружности. Будем считать пока, что d\ne0 (рисунок 1). Проведем биссектрисы AO_1 и BO_1 углов А и В. Они пересекаются с описанной окружностью в некоторых точках A_1 и B_1. Пусть P и Q – точки пересечения прямой OO_1 с описанной окружностью. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд {PO_1}\cdot {O_1Q}={AO_1}\cdot {O_1A_1}, или

    \[(R+d)(R-d)= AO_1\cdot O_1A_1\]

.

Заметим теперь, что поскольку AA_1 и BB_1 – биссектрисы углов А и В, то \smile BA_1=\smile A_1C, а \smile CB_1=\smile B_1A. Следовательно,

    \[\angle BO_1A_1={\frac {\smile BA_1+\smile AB_1}{2}}={\frac {\smile A_1C+\smile CB_1}{2}}= \angle O_1BA_1\]

.

Поэтому треугольник O_1A_1B  равнобедренный: O_1A_1=BA_1. Таким образом, соотношение можно переписать так:

    \[(R+d)(R-d)= {AO_1}\cdot{BA_1}\]

.

Проведем теперь диаметр A_1A_2 описанной окружности и обозначим буквой К точку касания вписанной окружности и стороны АВ. Треугольники A_1A_2B и AO_1K подобны (они прямоугольные и имеют равные углы А и A_2), поэтому

    \[\frac {O_1K}{BA_1}=\frac {AO_1}{A_1A_2} \textnormal {, } \frac {r}{BA_1}=\frac {AO_1}{2R}\]

.

Откуда {AO_1}\cdot {BA_1}=2Rr. Подставив это выражение, получим

    \[(R+d)(R-d)= 2Rr\textnormal {, или} d^2=R^2-2Rr\]

.

В случае d=0 (рисунок 2) каждая из сторон треугольника АВС равна 2 \sqrt {R^2-r^2}, а значит, этот треугольник равносторонний.

Рисунок 2

Поэтому \angle {BAC}=60^0, \angle {BAO}=30^0, и, следовательно, R=2r. Теорема доказана.

Замечание. В ходе доказательства теоремы мы установили весьма полезный факт:

Точка пересечения продолжения биссектрисы, проведенной из одной из вершин треугольника, с описанной окружностью равноудалена от двух других вершин и центра вписанной окружности.

Теорема Птолемея

В любой треугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Однако для других многоугольников это не так. Мы знаем, например, что в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180^0. Эти утверждения очень похожи друг на друга. Используя скобки, их можно объединить в одно:

Описанная (вписанная) окружность для данного четырехугольника существует тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов (сторон) равны.

Существуют и другие характеристические свойства вписанных и описанных четырехугольников. Наиболее известное основано на теореме Птолемея.

Теорема (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство.

Рассмотрим вписанный четырехугольник АВСD. Для удобства введем обозначение: АВ = а, ВС = b, CD = c, DA = d, AC = m, BD = n (рисунок 3) и докажем, что m \cdot n=ac+bd .

Рисунок 3

На диагонали АС возьмем такую точку М, что \angle ABM= \angle DBC. Треугольники АВМ и DBC подобны по двум углам (\angle ABM= \angle DBC по построению, а углы ВАМ и BDC равны как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу). Следовательно, \frac {AB}{BD}= \frac {AM}{CD}, откуда AB \cdot CD = AM \cdot BD, или ac=AM \cdot n  (1).

Далее, треугольники МВС и ADB также подобны, так как \angle MBC= \angle ABD, а углы ВСМ и BDA равны как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому , \frac {BC}{MC}= \frac {BD}{AD}, откуда BC \cdot AD = MC \cdot BD, или bd=MC \cdot n  (2).

Сложив равенства (1) и (2), получим  ac+bd=(AM+MC) \cdot n, или ac+bd=m \cdot n,  что и требовалось доказать.

Оказывается, что рассмотренное свойство вписанного четырехугольника является характеристическим, то есть верно и обратное утверждение.

Если в выпуклом четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон, то около него можно описать окружность.

Рекомендую далее изучить тему “Вневписанные окружности”.


Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях
 

Источник: Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.