Формула Эйлера. Теорема Птолемея

Формула Эйлера

Мы знаем, что в каждый треугольник можно вписать окружность и можно описать около него окружность. Ясно, что вписанная окружность лежит внутри описанной, поскольку вписанная окружность лежит внутри треугольника, а сам треугольник лежит внутри описанной окружности.

Радиусы вписанной  и описанной окружностей и расстояние между их центрами всегда связаны между собой определенным соотношением. Справедлива следующая теорема.

Теорема. В треугольнике радиус R описанной окружности и радиус r вписанной окружности связаны с расстоянием d между их центрами соотношением

   

.

В частности, если d=0 (центры окружностей совпадают), то .

Эта формула называется формулой Эйлера.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник АВС, у которого точка О – центр описанной окружности, а точка – центр вписанной окружности. Будем считать пока, что (рисунок 1). Проведем биссектрисы и углов А и В. Они пересекаются с описанной окружностью в некоторых точках и . Пусть P и Q – точки пересечения прямой с описанной окружностью. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд , или

Заметим теперь, что поскольку и – биссектрисы углов А и В, то , а . Следовательно,

Поэтому треугольник  равнобедренный: . Таким образом, соотношение можно переписать так:

Проведем теперь диаметр описанной окружности и обозначим буквой К точку касания вписанной окружности и стороны АВ. Треугольники и подобны (они прямоугольные и имеют равные углы А и ), поэтому

Откуда . Подставив это выражение, получим

В случае d=0 (рисунок 2) каждая из сторон треугольника АВС равна , а значит, этот треугольник равносторонний.

Поэтому , , и, следовательно, . Теорема доказана.

Замечание. В ходе доказательства теоремы мы установили весьма полезный факт:

Точка пересечения продолжения биссектрисы, проведенной из одной из вершин треугольника, с описанной окружностью равноудалена от двух других вершин и центра вписанной окружности.

Теорема Птолемея

В любой треугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Однако для других многоугольников это не так. Мы знаем, например, что в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна . Эти утверждения очень похожи друг на друга. Используя скобки, их можно объединить в одно:

Описанная (вписанная) окружность для данного четырехугольника существует тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов (сторон) равны.

Существуют и другие характеристические свойства вписанных и описанных четырехугольников. Наиболее известное основано на теореме Птолемея.

Теорема (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство.

Рассмотрим вписанный четырехугольник АВСD. Для удобства введем обозначение: АВ = а, ВС = b, CD = c, DA = d, AC = m, BD = n (рисунок 3) и докажем, что .

На диагонали АС возьмем такую точку М, что . Треугольники АВМ и DBC подобны по двум углам ( по построению, а углы ВАМ и BDC равны как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу). Следовательно, , откуда , или   (1).

Далее, треугольники МВС и ADB также подобны, так как , а углы ВСМ и BDA равны как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому , , откуда , или   (2).

Сложив равенства (1) и (2), получим  , или ,  что и требовалось доказать.

Оказывается, что рассмотренное свойство вписанного четырехугольника является характеристическим, то есть верно и обратное утверждение.

Если в выпуклом четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон, то около него можно описать окружность.

Рекомендую далее изучить тему «Вневписанные окружности».

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях

Источник: Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.