Архивы рубрики: Геометрия

Вневписанные окружности

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и проведем биссектрису AA_1 . Затем продолжим эту биссектрису за точку A_1 до пересечения в точке O_a с биссектрисой внешнего угла при вершине В (рис.1). Поскольку точка O_a лежит на биссектрисе угла А, то она равноудалена от прямых АВ и ВС. Следовательно, она равноудалена и от прямых АС и ВС, а значит, лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине С.

Итак,

Продолжение биссектрисы треугольника, проведенной из одной из вершин, пересекается с биссектрисами внешних углов при двух других вершинах в одной точке.

» Читать далее

Формула Эйлера. Теорема Птолемея

Формула Эйлера

Мы знаем, что в каждый треугольник можно вписать окружность и можно описать около него окружность. Ясно, что вписанная окружность лежит внутри описанной, поскольку вписанная окружность лежит внутри треугольника, а сам треугольник лежит внутри описанной окружности.

Радиусы вписанной  и описанной окружностей и расстояние между их центрами всегда связаны между собой определенным соотношением. Справедлива следующая теорема.

Теорема. В треугольнике радиус R описанной окружности и радиус r вписанной окружности связаны с расстоянием d между их центрами соотношением

    \[{\ d^2=R^2-2Rr\]

.

В частности, если d=0 (центры окружностей совпадают), то R=2r.

Эта формула называется формулой Эйлера.

» Читать далее