Изучение последовательностей и прогрессий

последовательности и прогрессии

Изучение последовательностей и прогрессий начинается в 9 классе. Но тема “Последовательности” встретится нам еще в 10 классе при изучении математического анализа.

Прогрессии – частные случаи последовательностей, поэтому изучая их мы принимаем за основу вопросы, относящиеся к последовательностям. Как и всякие последовательности, прогрессии являются функциями, но несколько отличающиеся от того, к чему привыкли ученики. Это функции натурального аргумента.

Ученые всего мира договариваются о некоторых вещах, касающихся вопросов науки. Так, например, задумавшись над вопросом: зачем писать  \ y=f(x), x\in N, если будет легче писать \ y=f(n), договорившись навсегда, что аргумент \ n -натуральное число \ (n\in N). Так и сделали: заменили запись \ y=x^2, x\in N на   \ y=n^2.

И еще договорились заменить \ f(1) на \ y_1,  \ f(2) на  \ y_2\ f(3) на \ y_{3} и т.д., \ f(n) соответственно на \ y_{n}. Или, что тоже самое, заменить \ f(1) на \ a_{1}, \ f(2) на \ a_{2}\ f(3) на \ a_{3} и т.д., \ f(n) на \ a_{n}. Таким образом, в качестве примера, для функции \ y=n^2  получим:

\ y_1=1^2=1;

\ y_2=2^2=4;

\ y_3=3^2=9;

\ y_4=4^2=16;

\ y_5=5^2=25 и так далее.

Теперь то, что мы получили, для удобства можно записать в строку друг за другом 1, 4, 9, 16, 25, …,\ n^2, …

Эта последовательность и будет примером числовой последовательности.

Итак, подводя краткий итог, мы для себя должны уяснить, что записи вида:

1) \ y=f(x), x\in N;

2) \ y=f(n);

3) \ f(1)\ f(2)\ f(3), …, \ f(n), …  или \ y_1\ y_2\ y_3, …, \ y_n, где \ y_n=f(n);

4) \ f(1)\ f(2)\ f(3), …, \ f(n), …  или \ a_1\ a_2\ a_3, …, \ a_n, где \ a_n=f(n)

различны по внешнему виду, но по смыслу означают одно и то же.

Числовые последовательности

Числовой последовательностью называется множество чисел, занумерованных с помощью натуральных чисел и расположенных в порядке возрастания их номеров,

т.е.  \ a_1\ a_2\ a_3, …, \ a_n, … или сокращенно \ (a_n). Числа, из которых составлена последовательность, называют ее членами.

Числовая последовательность задана, если всякому натуральному числу n поставлена в соответствие некоторое число \ a_n. Задать числовую последовательность – это значит указать правило, с помощью которого по номеру члена можно найти этот член, т.е. задать функцию \ a_n=f(n), где – f правило соответствия между \ n и \ a_n,  \ n\in N;. Общим членом последовательности называется ее \ n –  й член \ a_n.

Или другими словами: последовательность считается заданной, если указан способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Числовая последовательность, у которой все члены равны между собой, называется постоянной последовательностью или просто постоянной. Например, в последовательности a_n = 4  все члены равны 4.  (a_1 = 4, a_2 = 4, a_3 = 4, a_4 = 4, a_5 = 4, ....).  Можно записать  4, 4, 4, 4, 4, ....

Конечной числовой последовательностью называется последовательность, содержащая \ n членов, т.е. числовая функция \ a_n=f(n), заданная на множестве \ \{1; 2; 3; ..., n\}.

Как и функцию, последовательность можно задать различными способами: аналитически (формулой), таблицей, графиком и т.д. Чаще всего последовательность задают с помощью формулы \ n – го члена или рекуррентно.

Рекуррентный способ задания последовательности заключается в том, что указывается соотношение, позволяющее найти \ n член последовательности, если известны ее предыдущие члены.

Примеры

  • Способ задания последовательности с помощью формулы \ n члена.

Задана формула \ b_n= \ n^2-5n. Записать последовательность.

Решение.

\ b_1= \ 1^2-5\cdot1= 1-5 = -4

\ b_2= \ 2^2-5\cdot2 = 4-10=-6

\ b_3= \ 3^2-5\cdot3 = 9-15=-6

\ b_4= \ 4^2-5\cdot4=16-20=-4

\ b_5= \ 5^2-5\cdot5 =25-25=0

\ b_6= \ 6^2-5\cdot6 = 36-30=6

…………….

Таким образом, наша последовательность будет иметь вид \ (b_n):  -4; -6; -6; -4; 0; 6 ......

  • Рекуррентный способ задания последовательности

а) Известно, что \ a_n= a_{n-3}+ a_{n-2} + a_{n-1}  и  \ a_1=1\ a_2=2\ a_3=3, при \ n \eqslantgtr{4}. Записать последовательность.

Решение.

\ n \eqslantgtr{4}. Подставляя в формулу \ a_n= a_{n-3}+ a_{n-2} + a_{n-1} вместо n последовательно 4; 5; …., получаем:

\ n = 4     \ a_4= a_1+ a_2 + a_3;      \ a_4= 1+ 2 + 3 = 6;     \ a_4= 6

\ n = 5     \ a_5= a_2+ a_3 + a_4;      \ a_5= 2+ 3 + 6 = 11;    \ a_5= 11

\ n = 6      \ a_6= a_3+ a_4 + a_5;     \ a_5= 3+ 6 + 11 = 11;   \ a_6= 20

Значит \ (a_n):  1; 2; 3; 6; 11; 20 ......

б) Известно, что \ u_n= u_{n-1}+ u_{n-2}  и  \ u_1= u_2=1, при \ n>2. Записать последовательность.

Решение.

\ u = 3     \ u_3= u_2+ u_1;      \ u_3= 1+ 1 = 2;     \ u_3= 2

\ u = 4     \ u_4= u_3+ u_2;      \ u_4= 2+ 1 = 3;     \ u_4= 3

\ u = 5     \ u_5= u_4+ u_3;      \ u_5= 3+ 2 = 5;     \ u_5= 5

\ u = 6     \ u_6= u_5+ u_4;      \ u_6= 5+ 3 = 8;     \ u_6= 8

\ u = 7     \ u_7= u_6+ u_5;      \ u_7= 8+ 5 = 13;     \ u_7= 13

Значит \ (u_n):  1; 1; 2; 3; 5; 8; 13 ......

Эта последовательность называется последовательностью Фибоначчи, а ее члены – числами Фибоначчи.

Интересно, что с последовательностью Фибоначчи дети знакомятся еще в начальной школе (хотя там ее так не называют). Для малышей есть задание: “Найди закономерность и продолжи последовательность  1; 1; 2; 3; 5; 8; ………….”.)

Примеры заданий с решениями

Пример 1. Последовательность задана формулой \ u_n= \frac {n(n+1)}{2}.

а) Выпишите эту последовательность.

б) Найдите \ u_{100}\ u_{n-3} и \ u_{n+1}.

 

Решение.

а)         \ u_1= \frac {1(1+1)}{2} =1

\ u_2= \frac {2(2+1)}{2} =3

\ u_3= \frac {3(3+1)}{2} =6

\ u_4= \frac {4(4+1)}{2} =10

\ u_5= \frac {5(5+1)}{2} =15

\ u_6= \frac {6(6+1)}{2} =21

\ u_7= \frac {7(7+1)}{2} =28

То есть наша последовательность будет выглядеть так: 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; ….

б)   \ u_{100}= \frac {100(100+1)}{2} = 5050

      \ u_{n-3}= \frac {(n-3)(n-3+1)}{2} = \frac {(n-3)(n-2)}{2}.

      \ u_{n+1}= \frac {(n+1)(n+1+1)}{2} = \frac {(n+1)(n+2)}{2}.

 

Пример 2. Подберите одну из возможных формул \ n члена последовательности \ \frac {1\cdot 7}{3\cdot 5};  \ \frac {2\cdot 8}{4\cdot 6};  \ \frac {3\cdot 9}{5\cdot 7};  \ \frac {4\cdot 10}{6\cdot 8};  \ \frac {5\cdot 11}{7\cdot 9}.

Ответ: \frac {n(n+6)}{(n+2)(n+4)}.

Пример 3. Закономерность, по которой выписаны члены последовательности, не всегда легко обнаружить. Например, пусть дана последовательность: \{0; \frac{7}{2}; 13; \frac{63}{2}; 62; \frac{215}{2}; 171,...\}. Найдите какое-нибудь правило, определяющее эту последовательность.

Ответ: формула для общего члена этой последовательности имеет, например, вид \ u_n= \frac {n^3-1}{2}.

Теперь при изучении последовательностей и прогрессий вы с легкостью найдете нужный член последовательности и сможете задать последовательность формулой.

Как я уже отметила в начале этой статьи, прогрессии – это частные случаи последовательностей и в следующих статьях мы с вами рассмотрим арифметическую и геометрическую прогрессии. Также  рекомендую Вам познакомиться с методом математической индукции, который применяется для широкого круга задач.

2 комментария

  • Добрый день, Любовь Николаевна! Я тоже прохожу обучение в школе Евгения Вергуса. На сайте зарегистрированных участников, я под № 252. Тематика Вашего блога, видимо будет интересна молодым людям. Думаю, что если эта тематика блога будет направлена не просто так, а иметь конечную цель,- это подготовка к поступлению в ВУЗы, то Ваш блог будет посещаем. Свои пожелания по блогу могу Вам прислать электронной почтой ( если Вы этого хотите). Удачи Вам!

    • admin

      Здравствуйте Виктор! Да, я только начала писать статьи. Мысли есть, буду стараться. Спасибо за совет и, конечно, хочу узнать Ваши пожелания!

Добавить комментарий для admin Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.