Вневписанные окружности

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и проведем биссектрису AA_1 . Затем продолжим эту биссектрису за точку A_1 до пересечения в точке O_a с биссектрисой внешнего угла при вершине В (рис.1). Поскольку точка O_a лежит на биссектрисе угла А, то она равноудалена от прямых АВ и ВС. Следовательно, она равноудалена и от прямых АС и ВС, а значит, лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине С.

Итак,

Продолжение биссектрисы треугольника, проведенной из одной из вершин, пересекается с биссектрисами внешних углов при двух других вершинах в одной точке.

Поскольку точка O_a равноудалена от сторон внешних углов при вершинах В и С, то окружность с центром O_a, касающаяся стороны ВС, касается также и продолжений сторон АВ и АС (рис.2).

Эта окружность называется вневписанной окружностью треугольника АВС. Ясно, что любой треугольник имеет три вневписанных окружности. (рис.3).

Положение центра O_a вневписанной окружности можно охарактеризовать так: это точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах В и С. Можно охарактеризовать его и совершенно иначе, если заметить, что точки O_a, В и С и центр О вписанной в треугольник АВС окружности лежат на одной окружности с диаметром OO_a (рис.4), – это следует из того, что углы  OBO_a и OCO_a прямые.

Можно сказать, таким образом, что точка O_a представляет собой точку пересечения прямой AA_1 и окружности, описанной около треугольника ВОС.

Принимая во внимание замечание в конце статьи (Точка пересечения продолжения биссектрисы, проведенной из одной из вершин треугольника, с описанной окружностью равноудалена от двух других вершин и центра вписанной окружности), из этого можно сделать еще один вывод:

Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны.

В самом деле, пусть D – точка пересечения продолжения биссектрисы AA_1 с описанной около треугольника АВС окружностью (рис.5). Тогда согласно упомянутому замечанию DB = DC = DO. Следовательно, D – центр окружности, описанной около четырехугольника BOCO_a. Проведем из точек O, D  и O_a перпендикуляры к стороне ВС и обозначим их основания буквами P, Q и R соответственно (рис.6). Точки  P и R являются точками касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной ВС, а точка Q – середина этой стороны. Но OD=DO_a, значит, и PQ = QR, то есть точки P и R симметричны относительно точки Q.

Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника обладает еще одним замечательным свойством:

Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам.

Можно убедиться в этом самостоятельно, используя рис. 7.

При решении задач, связанных с нахождением площади треугольника, часто полезной бывает следующая формула. Пусть R_a – радиус вневписанной окружности, касающейся стороны треугольника, равной  а, р – полупериметр треугольника. Тогда

    \[S=R_a \cdot (p - a)\]

Обозначим эту формулу (1).

Действительно, если две другие стороны данного треугольника равны  b и c (рис. 8), то

    \[S = S_{ACO_a}+ S_{ABO_a} - S_{BCO_a} =\]

    \[= \frac {1}{2} \cdot b \cdot {R_a} + \frac {1}{2} \cdot c \cdot {R_a}-\frac {1}{2} \cdot a \cdot {R_a} =\]

    \[= R_a \cdot {(p - a)}\]

.

Замечание. Выпуклый четырехугольник может не иметь вписанной окружности, но он всегда имеет четыре вневписанные окружности.

Любопытно, что для площади S такого четырехугольника имеет место соотношение, похожее на формулу (1).

В самом деле, пусть стороны данного четырехугольника равны последовательно  a, b, c и d; p – его полупериметр,  {R_a} и {R_c} – радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных а и с. Допустим, что две другие стороны не параллельны (случай параллельных сторон рассмотрите самостоятельно). Продолжим их до пересечения в точке М (рис.9).

Пусть K_1 и K_2 – точки, в которых продолжения одной из сторон касаются вневписанных окружностей, причем K_1 лежит на окружности, вписанной в маленький треугольник. Площадь S четырехугольника равна, очевидно, разности площадей большого и маленького треугольников. Периметр маленького треугольника равен 2MK_1+2c, а периметр большого треугольника равен

    \[(2MK_1 + a + b + c + d) =\]

    \[= 2MK_1 + 2p\]

.

Применяя к большому треугольнику формулу (1), а к меньшему – формулу , выражающую его площадь через радиус вписанной окружности и полупериметр, получаем:

    \[S = R_a \cdot (MK_1 + p - a) - R_c \cdot (MK_1 + c)\]

Обозначим эту формулу (2)

С другой стороны, из подобия треугольников MK_1O_c и  MK_2O_a (O_c и O_a  – центры вневписанных окружностей) находим \frac {MK_1}{MK_2} = \frac {R_c}{R_a}. Но отрезок MK_2 равен полупериметру большого треугольника, то есть MK_2 = MK_1 + p.

Поэтому из полученной пропорции можно найти MK_1 :

    \[MK_1 = \frac {R_c}{R_a - R_c} \cdot p\]

.

Подставляя это выражение в равенство (2) получим:

    \[S = {R_a} \cdot {(p-a) + {R_c} \cdot {(p-c)}\]

.


Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях
 

Источник: Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.