Задачи с параметрами. Часть 2

Продолжаем серию статей по теме “Задачи с параметрами”. Сегодня разберем логарифмическое неравенство с параметром и тригонометрическое уравнение с параметром.

Задачи с параметрами. часть 2

Задача 3. Сколько целых решений имеет неравенство

    \[x-1<{log_{6}{(x+3)}\]

.

Решение.

Неравенство не решается стандартными способами. Все множество решений найти невозможно. Исследуем его графически. Построим эскизы правой и левой частей.Логарифмическое неравенство с параметромВидно, что точки х = -2; x=-1; x=0; x=1 удовлетворяют неравенству, а при х=2 неравенство уже неверно, так как 2-1> {log_{6}{(2+3)}.

Целых решений 4.

Ответ: 4

Задача 4. Найти все значения параметра p, при которых уравнение 8{sin^{3}x}=p+9cos2x не имеет решений.

Решение.

Выразим, прежде всего, cos 2x через sin x. Можно воспользоваться одним из вариантов формулы для косинуса двойного угла cos2x=1-2{sin^{2}x} или вывести эту связь из стандартной формулы cos2x={cos^{2}x}-{sin^{2}x}. Тогда 8{sin^{3}x}=p+9cos2x8{sin^{3}x}=p+9(1-2{sin^{2}x})8{sin^{3}x}+18{sin^{2}x}-9=p.

Пусть t=sinx, t ∈ [-1;1], тогда задача свелась к нахождению всех значений р, при которых уравнение 8t^3+18t^2-9=p не имеет решений на отрезке [-1;1].

Уравнение алгоритмически не решается, поэтому решим задачу, используя график. Запишем уравнение в виде 8t^3+18t^2=9+p, и теперь эскиз графика левой части y=2t^2(4t+9) строится несложно.

Тригонометрическое уравнение с параметром

Сразу видно, что у графика есть максимум на отрезке [-\frac{9}{4};0], и решение зависит от того, точка максимума находится левее или правее точки t = -1. Это можно выяснить с помощью дифференцирования. Но мы изучим внимательнее функцию и заметим, при всех t ∈ [-1;1] верны неравенства: 0\le2t^2(4t+9)2t^2(4(t+1)+5)\le2\cdot 13, так как 0 ≤ t+1 ≤ 2, причем y(0)=0, y(1)=26={y_{max}}.

Следовательно, уравнение не имеет решений, если прямая y=p+9 не пересекает график на отрезке, т.е. \begin{bmatrix}{p+9>26}\\{p+9<0}\end{matrix} ⇔ \begin{bmatrix}{p>17}\\{p<-9}\end{matrix}

Ответ: (-∞;-9)∪(17;+∞)

Замечание. Если необходимо исследовать графически решение уравнения f(x)=a, никогда не надо строить график функции y=f(x)-a. Надо построить график функции y=f(x), не содержащей параметра, так как его строить и  исследовать легче, а затем посмотреть, в зависимости от дополнительных условий задачи, как пересекается или не пересекается начерченный график с различными прямыми y=a.

Так решаются, например, такие задачи:

а) сколько решений имеет уравнение ax^3+bx^2+cx+d=p (коэффициенты а, b, с – заданные числа) при различных значениях параметра р?

б) найти все значения параметра р, при каждом из которых уравнение ax^3+bx^2+cx+d=p имеет три (или 2, или 1) решения.

Строим сначала эскиз графика для функции y=ax^3+bx^2+cx ≡ x(ax^2+bx+c)

(свободный член отправляем к параметру!) Это сделать нетрудно, так как корни всегда легко вычисляются и определяются знаки функции в промежутках между корнями. Если у квадратного трехчлена более одного корня, то придется найти экстремум – это мы тоже умеем. При этом без свободного члена и вычисления в точках экстремума проще. Затем пересекаем график прямыми y=p-d и получаем ответы на поставленные вопросы.

Ранее мы рассмотрели задачу 1 (неравенство с параметром и с модулем) и задачу 2 (неравенство с корнем и с параметром).

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях


 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *