Задачи с параметрами. Часть 2

Продолжаем серию статей по теме «Задачи с параметрами». Сегодня разберем логарифмическое неравенство с параметром и тригонометрическое уравнение с параметром.

Задача 3. Сколько целых решений имеет неравенство

   

.

Решение.

Неравенство не решается стандартными способами. Все множество решений найти невозможно. Исследуем его графически. Построим эскизы правой и левой частей.

Видно, что точки удовлетворяют неравенству, а при неравенство уже неверно, так как  .

Целых решений .

Ответ:

Задача 4. Найти все значения параметра p, при которых уравнение не имеет решений.

Решение.

Выразим, прежде всего, через . Можно воспользоваться одним из вариантов формулы для косинуса двойного угла или вывести эту связь из стандартной формулы . Тогда ⇔ ⇔ .

Пусть , тогда задача свелась к нахождению всех значений р, при которых уравнение не имеет решений на отрезке .

Уравнение алгоритмически не решается, поэтому решим задачу, используя график. Запишем уравнение в виде , и теперь эскиз графика левой части строится несложно.

Сразу видно, что у графика есть максимум на отрезке , и решение зависит от того, точка максимума находится левее или правее точки . Это можно выяснить с помощью дифференцирования. Но мы изучим внимательнее функцию и заметим, при всех t ∈ [-1;1] верны неравенства: ≡ , так как 0 ≤ t+1 ≤ 2, причем .

Следовательно, уравнение не имеет решений, если прямая не пересекает график на отрезке, т.е.  ⇔ 

Ответ: (-∞;-9)∪(17;+∞)

Замечание. Если необходимо исследовать графически решение уравнения , никогда не надо строить график функции . Надо построить график функции , не содержащей параметра, так как его строить и  исследовать легче, а затем посмотреть, в зависимости от дополнительных условий задачи, как пересекается или не пересекается начерченный график с различными прямыми .

Так решаются, например, такие задачи:

а) сколько решений имеет уравнение (коэффициенты а, b, с – заданные числа) при различных значениях параметра р?

б) найти все значения параметра р, при каждом из которых уравнение имеет три (или 2, или 1) решения.

Строим сначала эскиз графика для функции  ≡

(свободный член отправляем к параметру!) Это сделать нетрудно, так как корни всегда легко вычисляются и определяются знаки функции в промежутках между корнями. Если у квадратного трехчлена более одного корня, то придется найти экстремум – это мы тоже умеем. При этом без свободного члена и вычисления в точках экстремума проще. Затем пересекаем график прямыми и получаем ответы на поставленные вопросы.

Ранее мы рассмотрели задачу 1 (неравенство с параметром и с модулем) и задачу 2 (неравенство с корнем и с параметром).

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях