Задачи с параметрами. Часть 1.

Задачи с параметрами считаются одними из самых сложных задач. Во время обучения в школе они встречаются в каждом классе, но, естественно, разного уровня сложности. На ЕГЭ задачи с параметром вызывают у школьников наибольшую трудность. Многие ребята за них даже не берутся. Но не надо бояться задач с параметрами. Как начинать решать такие задачи?

Задачи с параметрами. часть 1

Прежде всего, при решении задач с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенствам – привести заданные уравнения или неравенства к более простому виду, если это, конечно, возможно: разложить рациональное выражение на множители; разложить тригонометрический многочлен на множители; избавиться от модулей, логарифмов и т.д. Затем необходимо внимательно еще и еще раз прочитать задание.

При решении задач, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно разделить на два больших класса.

В первый класс можно отнести задачи, в которых надо решить неравенство или уравнение при всех возможных значениях параметров (задача 1).

Ко второму классу отнесем задачи, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те их них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.

Класс этих задач неисчерпаем!

Наиболее понятный для школьников способ решения таких задач состоит в том, что сначала находятся все решения, а затем отбираются те, которые удовлетворяют дополнительным условиям (задача 2). Но это удается не всегда.

Иногда встречаются уравнения или неравенства, где дополнительное условие сформулировано так, что оно, легко «переведенное» на математический язык, сводит решение одного уравнения или неравенства второго класса к решению системы уравнений, неравенств или к решению смешанной системы, содержащей и уравнения, и неравенства, относящиеся уже к первому классу.

Встречается большое количество задач, в которых найти все множество решений невозможно, да нас и не просят. Поэтому приходится искать способ решить поставленную задачу, не имея в распоряжении всего множества решений данного уравнения или неравенства, например, поискать специальные свойства входящих в уравнение функций, которые позволят судить о существовании некоторого специального множества решений (задача 3).

При решении задач с параметрами иногда удобно, а иногда просто необходимо строить графики. Иногда рассматриваются графики в обычной плоскости, а иногда лучше рассмотреть графики в плоскости (х;а), где  х – независимая переменная, а  а – параметр. Это, прежде всего, возможно в задачах, где приходится строить знакомые графики: прямые, параболы, окружности, простейшие логарифмические (задача 3), показательные функции и т.д.

Бывает, что задача решается без всяких графиков, но более громоздко. Кроме того, эскизы графиков иногда помогают наглядно увидеть и «ход» решения (задача 4).

В качестве общей рекомендации заметим, что при решении, например, рациональных уравнений f(x, a) = 0 и неравенств f(x, a) > 0 надо помнить, что для разных степеней многочлена f(x, a) методы решения разные. Поэтому, в первую очередь, рассматривают решение при тех значениях параметра, при которых обращается в ноль коэффициент при старшей степени х многочлена f(x, a), понижая тем самым степень многочлена.

Например, квадратное уравнение А(а)х2 + В(а)х + С(а) = 0 при А(а)=0 превращается в линейное, если при этом В(а) не равно 0, а методы решения линейных и квадратных уравнений различны.

Задача 1. Решите неравенство |x – a| + |x +a|< b при всех a и b.

Решение.

задачи с параметрами часть 1 задача 1

Задача 2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых среди решений неравенства x+4a>5\sqrt{ax} нет ни одной точки отрезка [7; 96].

Решение.

В этом примере сначала решим неравенство при всех значениях параметра, а потом найдем те из них, для которых среди решений нет ни одной точки отрезка [7; 96]. Пусть t=\sqrt{ax}\begin{Bmatrix}{ax=t^2}\\{t\ge 0}\end{matrix}. При такой замене переменных ОДЗ неравенства выполняется автоматически.

Видно, что х можно выразить через t, если а≠0. Поэтому случай, когда а=0, придется рассмотреть отдельно.

  1. Пусть а=0, тогда x+4a>5\sqrt{ax}x>0, и заданный отрезок является решением.
  2. Пусть a≠0, тогда x=\frac {t^2}{a} и неравенство x+4a>5\sqrt{ax} примет вид \begin{Bmatrix}{t\ge 0}\\{\frac {t^2-5at+4a^2}{a}>0\end{matrix}.

Теперь видно, что решение неравенства зависит от знака а, поэтому придется рассматривать два случая.

a) Если  а>0, то \frac {t^2-5at+4a^2}{a}>0t^2-5at+4a^2>0 ⇔ t ∈ [0;a) ∪ (4a;+∞), или, в старых переменных, \begin{bmatrix}{0\le\sqrt{ax}<a}\\{\sqrt{ax}>4a}\end{matrix}\begin{bmatrix}{0\le x<a}\\{x>16a}\end{matrix}.

Решение не содержит ни одной точки заданного отрезка [7; 96] тогда и только тогда, когда выполнены условия (рис.1) \begin{Bmatrix}{a\le7}\\{16a\ge 96}\end{matrix}a[6;7].

б) Если а < 0, то \frac {t^2-5at+4a^2}{a}>0t^2-5at+4a^2<0 ⇔ t ∈ (4a;a) ⇔ t ∈ ∅, так как t ≥ 0.

Ответ: [6;7]

Решение других задач с параметром изучайте в наших следующих статьях.

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях


 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *