Продолжаем разбирать задачи по теории вероятностей из тестов ЕГЭ. Рассмотренные ранее в части 1 (простые задачи) и в части 2 (простые задачи на подбрасывание монеты и кубика) дают нам возможность немного углубиться в данную тему. Итак, сегодня рассмотрим объединение, пересечение событий и задачи о пересечении независимых событий.
При решении таких задач необходимы формулы вероятности для объединения несовместных событий и пересечения независимых событий. Также мы разберем несложные задачи, связанные с частотой и процентами.
Теоретическая часть
Два события А и В называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию А, так и событию В.
Например, при бросании кубика события «выпало число 3» и «выпало чётное число» несовместны. При этом события «выпало число больше 3-х» и «выпало чётное число» совместны.
Пусть событие С означает, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Тогда С называют объединением событий А и В, пишут С = А U В (также объединение событий иногда называют суммой событий и обозначают А + В).
Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей событий А и В: 
Два события А и В называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события.
Например, выполним последовательно два подбрасывания монеты. Тогда события «при первом подбрасывании выпала решка» и «при втором подбрасывании выпал орёл» являются независимыми: вероятность каждого из них равна 
независимо от того, что произошло при другом подбрасывании.
Рассмотрим другой пример. Пусть в урне находятся два чёрных и два белых шара. Сперва из урны наугад извлекают один шар. Затем из той же урны наугад извлекают ещё один шар. Обозначим через А событие «первый извлечённый шар белый», а через В – «второй извлечённый шар чёрный». Тогда события А и В являются зависимыми. Действительно, если событие А произошло, то в урне из трёх оставшихся шаров два чёрных и Р(В) = 
. Если же событие А не произошло, то в урне из трёх оставшихся шаров один чёрный и Р(В) =
.
Пусть событие С означает, что произошло как событие А, так и В. Тогда С называют пересечением событий А и В, пишут
(также пересечение событий иногда называют произведением событий и обозначают А • В).
Если события А и В независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей событий А и В:
.
Также в условиях задач могут присутствовать проценты. Следует вспомнить, что 1 % – это 
часть. Например, 30% от числа х – это 0,3х.
Частотой события А называют отношение
, где n — общее число испытаний, m – число появлений события А.
Например, пусть мы подбросили монету 100 раз, орёл выпал 47 раз. Тогда частота выпадения орла в нашем эксперименте равна 
.
Задачи о пересечении независимых событий
Задача 3.1. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Н. с вероятностью 0,45. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Н. с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А. и Н. играют две шахматные партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение.
Обозначим события: W = «А. выиграл белыми», В = «А. выиграл чёрными». По условию, P(W) = 0,45, Р(В) = 0,4. Необходимо найти вероятность пересечения событий W и В, то есть 
. События W и В независимы (результат одной партии не зависит от результата другой), поэтому 
Ответ: 0,18.
Задача 3.2. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
Решение.
Обозначим через А1, А2, А3 события, означающие, что в выбранный момент времени соответствующий продавец занят. По условию Р(A1) = Р(А2) = Р(А3) = 0,4. Искомая вероятность равна
Ответ: 0,064.
Задача 3.3. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,1 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Решение.
Здесь удобно сначала найти вероятность события «оба автомата неисправны», противоположного событию из условия задачи. Обозначим через А и В события «первый автомат неисправен» и «второй автомат неисправен». По условию Р(А) = Р(В) = 0,1. Событие «оба автомата неисправны» – это 
, его вероятность равна
Искомая вероятность равна 
.
Ответ: 0,99.
Задача 3.4. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишени, а последние три — промахнулся. Результат округлите до сотых.
Решение.
Обозначим через А1, А2, А3, А4, А5 события, означающие попадание в мишень при соответствующем выстреле. По условию Р(A1)=Р(А2)=Р(А3)=Р(A4)=Р(А5)=0,6. Нам необходимо найти вероятность 
Так как рассматриваемые события независимы, то эта вероятность равна
=
.
Что приблизительно равно 0,02.
Ответ: 0,02.
Задача 3.5. На рисунке изображён лабиринт. Мышка заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и идти назад мышка не может, поэтому на каждом разветвлении мышка выбирает один из путей, по которому ещё не шла. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью мышка придёт к выходу В.
Решение.
Расставим на перекрёстках стрелки в направлениях, по которым может двигаться мышка (см. рис. 2). Выберем на каждом из перекрёстков одно направление из двух возможных и будем считать, что при попадании на перекрёсток мышка будет двигаться по выбранному нами направлению.
Чтобы мышка достигла выхода В, нужно, чтобы на каждом перекрёстке было выбрано направление, обозначенное сплошной линией. Всего выбор направления делается 4 раза, каждый раз независимо от предыдущего выбора. Вероятность того, что каждый раз выбрана сплошная стрелка, равна 
Ответ: 0,0625.
Итак, теперь вы знаете необходимые формулы вероятности для объединения несовместных событий и пересечения независимых событий, а также научились решать задачи о пересечении независимых событий.
После изучения материала по решению задач по теории вероятностей рекомендую выполнить задачи для самостоятельного решения, которые мы публикуем на нашем канале Telegram. Вы также можете проверить правильность их выполнения, внеся свои ответы в предлагаемую форму.
Также рекомендую изучить «Задачи на вычисление», урок «Площадь сектора» и другие уроки по решению заданий ЕГЭ по математике, которые представлены на нашем канале Youtube.
Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях
Источник «Подготовка к ЕГЭ. Математика.Теория вероятностей». Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова