Теория вероятностей. Объединение несовместных событий. Часть 4

Итак, сегодня у нас из теории вероятностей, задачи об объединении несовместных событий. Мы уже рассмотрели задачи на подбрасывание монеты и кубика, а также задачи средней трудности из ЕГЭ о пересечении независимых событий.

Теория вероятностей. Объединение несовместных событий

Объединение несовместных событий

Задача 4.1. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Ромб», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Описанная окружность», равна 0,15. Вопросов, относящихся одновременно к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Пусть событие А означает, что школьнику достался вопрос по теме «Ромб», событие В — вопрос по теме «Описанная окружность». По условию Р(А)= 0,1, Р(В) = 0,15. По условию события А и В несовместны. Искомая вероятность равна = Р(А) + Р(В) = 0,1+ 0,15 = 0,25.

Ответ: 0,25.

Задача 4.2. Вероятность того, что новая кофемолка прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что она прослужит больше двух лет, равна 0,81. Найдите вероятность того, что кофемолка прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение.

1-й способ.

Обозначим через А событие «кофемолка прослужит больше года, но меньше двух лет», через В событие «кофемолка прослужит больше двух лет». События А и В несовместны (кофемолка не может прослужить меньше двух лет и одновременно больше двух лет). Объединением событий А и В является событие А и В «кофемолка прослужит больше года». По условию  = 0,93, Р(В) = 0,81. Так как А и В несовместны, то = Р(А) + Р(В), откуда Р(А) =  — Р(В) = 0,93 — 0,81 = 0,12.

2-й способ.

Будем рассуждать о том, когда может сломаться кофемолка. Она может сломаться уже на первом году работы, может сломаться на втором году работы, а может проработать более двух лет и сломаться потом. Будем заполнять следующую таблицу:

Событие сломалась на первом году сломалась на втором году сломалась после двух лет работы
Вероятность

Так как вероятность события «кофемолка прослужит больше года» равна 0,93, то вероятность противоположного события «кофемолка сломалась на первом году» равна 1 — 0,93 = 0,07. Вероятность события «кофемолка сломалась после первых двух лет работы» по условию равна 0,81. Вносим найденные значения в таблицу.

Событие сломалась на первом году сломалась на втором году сломалась после двух лет работы
Вероятность 0,07 0,81

В таблице перечислены три несовместных события, одно из которых обязательно произойдёт. Поэтому сумма вероятностей в таблице должна быть равна 1. Следовательно, незаполненное искомое значение можно вычислить как 1 — 0,07 — 0,81=0,12.

Ответ: 0,12.

Задача 4.3. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 25 пассажиров, равна 0,91. Вероятность того, что окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,39. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 18 до 24.

Решение.

Обозначим через А событие «в автобусе менее 18 пассажиров», через В событие «в автобусе от 18 до 24» пассажиров. Тогда А U В это событие «в автобусе менее 25 пассажиров». По условию Р (А U В) = 0,91, Р(А) = 0,39. Так как события А и В несовместны, то  = Р(А) + Р(В), откуда 0,91 = 0,39 + Р(В), Р(В) = 0,52. Ответ: 0,52.

Задачи об объединении пересечений событий

Задача 4.4. Ковбой Билл попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,25. На столе лежит 5 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Билл видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Билл попадёт в муху.

Решение.

Так как из 5 револьверов 2 пристреляны, то вероятность схватить пристрелянный револьвер равна \frac {2}{5}=0,4. Вероятность схватить один из трёх непристрелянных револьверов равна \frac {3}{5}=0,6.

Обозначим через А событие «Билл схватит пристрелянный револьвер и попадёт из него в муху». Так как события «Билл схватит пристрелянный револьвер» и «Билл попадёт из пристрелянного револьвера в муху» независимы, то Р(А) = 0,4\cdot 0,8=0,32.

Аналогично вероятность события В «Билл схватит непристрелянный револьвер и попадёт из него в муху» равна Р(В) = 0,6\cdot 0,25=0,15. События А и В несовместны (Билл не может одновременно стрелять как из пристрелянного, так и из непристрелянного револьвера). Искомая вероятность равна

= Р(А)+Р(В) = 0,32+0,15=0,47

Ответ: 0,47.

Задача 4.5. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,98. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,08. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

 Решение.

Для отбраковки неисправной батарейки должны произойти два независимых события: «линия произвела неисправную батарейку» и «неисправная батарейка забракована». Вероятность события А «произведена и забракована неисправная батарейка» равна Р(А) = 0,05 • 0,98 = 0,049.

Исправную батарейку линия производит с вероятностью 1- 0,05 = 0,95. Для отбраковки исправной батарейки должны произойти два независимых события: «линия произвела исправную батарейку» и «исправная батарейка забракована». Вероятность события В «произведена и забракована исправная батарейка» равна Р(В) = 0,95 • 0,08 = 0,076.

События А и В несовместны. Искомая вероятность равна = Р(А) + Р(В) = 0,049 + 0,076 = 0,125.

Ответ: 0,125.

Задача 4.6. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.

Решение.

1-й способ.

Так как вероятности выигрыша и проигрыша равны 0,3, то вероятность ничьей равна 1-0,3-0,3 = 0,4. Команда выходит в следующий круг либо после двух выигрышей, либо после выигрыша и ничьей.

1)Вероятность события А «команда выиграла оба матча» по формуле пересечения независимых событий находим как Р(А) = 0,3\cdot 0,3=0,09.

2)Вероятность события В «команда выиграла первый матч, закончила вничью второй матч» равна Р(В) = 0,3\cdot 0,4=0,12

З. Вероятность события С «команда закончила вничью первый матч, выиграла второй матч» равна Р(В) =0,4\cdot 0,3=0,12

События А, В, С попарно несовместны, вероятность их объединения равна = Р(А)+Р(В)+Р(С) = 0,09 + 0,12 + 0,12 = 0,33.

2-й способ.

Составим таблицу возможных результатов матчей и вероятностей этих результатов.

Второй матч

победа

Р=0,3

ничья

Р=0,4

поражение

Р=0,3

Первый матч победа Р = 0,3 0,09 0,12 0,09
ничья Р = 0,4 0,12 0,16 0,12
поражение Р = 0,3 0,09 0,12 0,09

Числа в ячейках получаются по принципу таблицы умножения (умножение вероятностей соответствующих результатов первого и второго матчей), так как вероятности результатов первого и второго матча не зависят друг от друга. Жирным  шрифтом в таблице выделены вероятности тех результатов, при которых команда выходит в следующий круг. Искомая вероятность равна 0,09 + 0,12 + 0,12 = 0,33.

Ответ: 0,33.

Задача 4.7. Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стёкол, вторая-40%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стёкол, а вторая — 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение.

Вероятность купить стекло первой фабрики равна 0,6. Вероятность брака в стекле первой фабрики равна 0,04. Вероятность события А «куплено бракованное стекло первой фабрики» находим по формуле для пересечения независимых событий: Р (А) = 0,6 • 0,04 = 0,024.

Вероятность купить стекло второй фабрики равна 0,4. Вероятность брака в стекле второй фабрики равна 0,03. Вероятность события В «куплено бракованное стекло второй фабрики» равна Р(В) = 0,4 • 0,03 = 0,012.

Искомая вероятность равна вероятности объединения несовместных событий А и В.

 = Р(А) + Р(В) = 0,024 + 0,012 = 0,036.

Ответ: 0,036.

Задачи о частоте

Задача 4.8. Вероятность того, что новый DVD — проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,05. В некотором городе из 2000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступили 130 штук. Насколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение.

Частота события «гарантийный ремонт» равна \frac {130}{2000}=0,065.  От вероятности она отличается на 0,065 — 0,05 = 0,015.

Ответ: 0,015.

Подведем итог

После изучения материала по решению простых задач по теории вероятностей рекомендую выполнить задачи для самостоятельного решения, которые мы публикуем на нашем канале Telegram.

Также рекомендую изучить простые задачи по теории вероятностей, «Центральные и вписанные углы. Задание № 3 ЕГЭ» и другие уроки по решению заданий ЕГЭ по математике, которые представлены на нашем канале Youtube. 

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях


 


Источник «Подготовка к ЕГЭ. Математика.Теория вероятностей». Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *