Изучение последовательностей и прогрессий

последовательности и прогрессии

Изучение последовательностей и прогрессий начинается в 9 классе. Но тема «Последовательности» встретится нам еще в 10 классе при изучении математического анализа.

Прогрессии — частные случаи последовательностей, поэтому изучая их мы принимаем за основу вопросы, относящиеся к последовательностям. Как и всякие последовательности, прогрессии являются функциями, но несколько отличающиеся от того, к чему привыкли ученики. Это функции натурального аргумента.

Ученые всего мира договариваются о некоторых вещах, касающихся вопросов науки. Так, например, задумавшись над вопросом: зачем писать  \ y=f(x), x\in N, если будет легче писать \ y=f(n), договорившись навсегда, что аргумент \ n -натуральное число \ (n\in N). Так и сделали: заменили запись \ y=x^2, x\in N на   \ y=n^2.

И еще договорились заменить \ f(1) на \ y_1,  \ f(2) на  \ y_2\ f(3) на \ y_{3} и т.д., \ f(n) соответственно на \ y_{n}. Или, что тоже самое, заменить \ f(1) на \ a_{1}, \ f(2) на \ a_{2}\ f(3) на \ a_{3} и т.д., \ f(n) на \ a_{n}. Таким образом, в качестве примера, для функции \ y=n^2  получим:

\ y_1=1^2=1;

\ y_2=2^2=4;

\ y_3=3^2=9;

\ y_4=4^2=16;

\ y_5=5^2=25 и так далее.

Теперь то, что мы получили, для удобства можно записать в строку друг за другом 1, 4, 9, 16, 25, …,\ n^2, …

Эта последовательность и будет примером числовой последовательности.

Итак, подводя краткий итог, мы для себя должны уяснить, что записи вида:

1) \ y=f(x), x\in N;

2) \ y=f(n);

3) \ f(1)\ f(2)\ f(3), …, \ f(n), …  или \ y_1\ y_2\ y_3, …, \ y_n, где \ y_n=f(n);

4) \ f(1)\ f(2)\ f(3), …, \ f(n), …  или \ a_1\ a_2\ a_3, …, \ a_n, где \ a_n=f(n)

различны по внешнему виду, но по смыслу означают одно и то же.

Числовые последовательности

Числовой последовательностью называется множество чисел, занумерованных с помощью натуральных чисел и расположенных в порядке возрастания их номеров,

т.е.  \ a_1\ a_2\ a_3, …, \ a_n, … или сокращенно \ (a_n). Числа, из которых составлена последовательность, называют ее членами.

Числовая последовательность задана, если всякому натуральному числу n поставлена в соответствие некоторое число \ a_n. Задать числовую последовательность – это значит указать правило, с помощью которого по номеру члена можно найти этот член, т.е. задать функцию \ a_n=f(n), где — f правило соответствия между \ n и \ a_n,  \ n\in N;. Общим членом последовательности называется ее \ n –  й член \ a_n.

Или другими словами: последовательность считается заданной, если указан способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Числовая последовательность, у которой все члены равны между собой, называется постоянной последовательностью или просто постоянной. Например, в последовательности a_n = 4  все члены равны 4.  (a_1 = 4, a_2 = 4, a_3 = 4, a_4 = 4, a_5 = 4, ....).  Можно записать  4, 4, 4, 4, 4, ....

Конечной числовой последовательностью называется последовательность, содержащая \ n членов, т.е. числовая функция \ a_n=f(n), заданная на множестве \ \{1; 2; 3; ..., n\}.

Как и функцию, последовательность можно задать различными способами: аналитически (формулой), таблицей, графиком и т.д. Чаще всего последовательность задают с помощью формулы \ n – го члена или рекуррентно.

Рекуррентный способ задания последовательности заключается в том, что указывается соотношение, позволяющее найти \ n член последовательности, если известны ее предыдущие члены.

Примеры

  • Способ задания последовательности с помощью формулы \ n члена.

Задана формула \ b_n= \ n^2-5n. Записать последовательность.

Решение.

\ b_1= \ 1^2-5\cdot1= 1-5 = -4

\ b_2= \ 2^2-5\cdot2 = 4-10=-6

\ b_3= \ 3^2-5\cdot3 = 9-15=-6

\ b_4= \ 4^2-5\cdot4=16-20=-4

\ b_5= \ 5^2-5\cdot5 =25-25=0

\ b_6= \ 6^2-5\cdot6 = 36-30=6

…………….

Таким образом, наша последовательность будет иметь вид \ (b_n):  -4; -6; -6; -4; 0; 6 ......

  • Рекуррентный способ задания последовательности

а) Известно, что \ a_n= a_{n-3}+ a_{n-2} + a_{n-1}  и  \ a_1=1\ a_2=2\ a_3=3, при \ n \eqslantgtr{4}. Записать последовательность.

Решение.

\ n \eqslantgtr{4}. Подставляя в формулу \ a_n= a_{n-3}+ a_{n-2} + a_{n-1} вместо n последовательно 4; 5; …., получаем:

\ n = 4     \ a_4= a_1+ a_2 + a_3;      \ a_4= 1+ 2 + 3 = 6;     \ a_4= 6

\ n = 5     \ a_5= a_2+ a_3 + a_4;      \ a_5= 2+ 3 + 6 = 11;    \ a_5= 11

\ n = 6      \ a_6= a_3+ a_4 + a_5;     \ a_5= 3+ 6 + 11 = 11;   \ a_6= 20

Значит \ (a_n):  1; 2; 3; 6; 11; 20 ......

б) Известно, что \ u_n= u_{n-1}+ u_{n-2}  и  \ u_1= u_2=1, при \ n>2. Записать последовательность.

Решение.

\ u = 3     \ u_3= u_2+ u_1;      \ u_3= 1+ 1 = 2;     \ u_3= 2

\ u = 4     \ u_4= u_3+ u_2;      \ u_4= 2+ 1 = 3;     \ u_4= 3

\ u = 5     \ u_5= u_4+ u_3;      \ u_5= 3+ 2 = 5;     \ u_5= 5

\ u = 6     \ u_6= u_5+ u_4;      \ u_6= 5+ 3 = 8;     \ u_6= 8

\ u = 7     \ u_7= u_6+ u_5;      \ u_7= 8+ 5 = 13;     \ u_7= 13

Значит \ (u_n):  1; 1; 2; 3; 5; 8; 13 ......

Эта последовательность называется последовательностью Фибоначчи, а ее члены — числами Фибоначчи.

Интересно, что с последовательностью Фибоначчи дети знакомятся еще в начальной школе (хотя там ее так не называют). Для малышей есть задание: «Найди закономерность и продолжи последовательность  1; 1; 2; 3; 5; 8; ………….».)

Примеры заданий с решениями

Пример 1. Последовательность задана формулой \ u_n= \frac {n(n+1)}{2}.

а) Выпишите эту последовательность.

б) Найдите \ u_{100}\ u_{n-3} и \ u_{n+1}.

 

Решение.

а)         \ u_1= \frac {1(1+1)}{2} =1

\ u_2= \frac {2(2+1)}{2} =3

\ u_3= \frac {3(3+1)}{2} =6

\ u_4= \frac {4(4+1)}{2} =10

\ u_5= \frac {5(5+1)}{2} =15

\ u_6= \frac {6(6+1)}{2} =21

\ u_7= \frac {7(7+1)}{2} =28

То есть наша последовательность будет выглядеть так: 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; ….

б)   \ u_{100}= \frac {100(100+1)}{2} = 5050

      \ u_{n-3}= \frac {(n-3)(n-3+1)}{2} = \frac {(n-3)(n-2)}{2}.

      \ u_{n+1}= \frac {(n+1)(n+1+1)}{2} = \frac {(n+1)(n+2)}{2}.

 

Пример 2. Подберите одну из возможных формул \ n члена последовательности \ \frac {1\cdot 7}{3\cdot 5};  \ \frac {2\cdot 8}{4\cdot 6};  \ \frac {3\cdot 9}{5\cdot 7};  \ \frac {4\cdot 10}{6\cdot 8};  \ \frac {5\cdot 11}{7\cdot 9}.

Ответ: \frac {n(n+6)}{(n+2)(n+4)}.

Пример 3. Закономерность, по которой выписаны члены последовательности, не всегда легко обнаружить. Например, пусть дана последовательность: \{0; \frac{7}{2}; 13; \frac{63}{2}; 62; \frac{215}{2}; 171,...\}. Найдите какое-нибудь правило, определяющее эту последовательность.

Ответ: формула для общего члена этой последовательности имеет, например, вид \ u_n= \frac {n^3-1}{2}.

Теперь при изучении последовательностей и прогрессий вы с легкостью найдете нужный член последовательности и сможете задать последовательность формулой.

Как я уже отметила в начале этой статьи, прогрессии — это частные случаи последовательностей и в следующих статьях мы с вами рассмотрим арифметическую и геометрическую прогрессии. Также  рекомендую Вам познакомиться с методом математической индукции, который применяется для широкого круга задач.

2 комментария

  • Добрый день, Любовь Николаевна! Я тоже прохожу обучение в школе Евгения Вергуса. На сайте зарегистрированных участников, я под № 252. Тематика Вашего блога, видимо будет интересна молодым людям. Думаю, что если эта тематика блога будет направлена не просто так, а иметь конечную цель,- это подготовка к поступлению в ВУЗы, то Ваш блог будет посещаем. Свои пожелания по блогу могу Вам прислать электронной почтой ( если Вы этого хотите). Удачи Вам!

    • admin

      Здравствуйте Виктор! Да, я только начала писать статьи. Мысли есть, буду стараться. Спасибо за совет и, конечно, хочу узнать Ваши пожелания!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *